Trong phần này, F ký hiệu một trường tùy ý và a, b là những phần tử bất kỳ của F.

Hệ quả từ định nghĩa

Ta có a · 0 = 0 và −a = (−1) · a.[7] Cụ thể, ta có thể suy ra nghịch đảo phép cộng của mọi phần tử ngay khi biết –1.

Nếu ab = 0 thì a hoặc b phải bằng 0. Thực vậy, nếu a ≠ 0, thì 0 = a–1⋅0 = a–1(ab) = (a–1a)b = b. Điều này nghĩa là mọi trường là một miền nguyên.

Nhóm cộng và nhóm nhân của một trường

Các tiên đề của một trường F chỉ rằng nó là một nhóm giao hoán dưới phép cộng. Nhóm này được gọi là nhóm cộng của trường, và đôi khi được kí hiệu là (F, +).

Tương tự, các phần tử khác 0 của F tạo thành một nhóm giao hoán dưới phép nhân, gọi là nhóm nhân, và thường ký hiệu là (F \ {0}, ·) hoặc F \ {0} hay F*.

Từ đó, một trường có thể được định nghĩa là một tập F với hai phép toán cộng và nhân sao cho F là nhóm giao hoán dưới phép cộng, F \ {0} là nhóm giao hoán dưới phép nhân (với 0 là đơn vị cộng), và phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng.[nb 2] Một số tính chất cơ bản của trường có thể được suy ra bằng những tính chất của nhóm. Ví dụ, nghịch đảo phép cộng và phép nhân −a và a−1 được xác định duy nhất bởi a.

Từ đó ta suy ra 1 ≠ 0, vì 1 là đơn vị của nhóm không chứa 0.[8] Do đó, vành không, chỉ chứa một phần tử, không phải là một trường.

Tất cả nhóm con hữu hản của nhóm nhân của một trường đều là cyclic (xem Nghiệm đơn vị § Nhóm cyclic).

Tính chất

Ngoài phép nhân hai phần tử của F, ta có thể định nghĩa tích n ⋅ a của phần tử a bất kỳ của F với một số nguyên dương n là tổng n số hạng là a

Nếu không tồn tại số nguyên dương nào sao cho

thì trường F có đặc số 0.[9] Ví dụ, trường số hữu tỉ Q có đặc số 0 vì không có số nguyên dương n nào bằng 0. Nếu tồn tại một số nguyên dương n thỏa mãn phương trình trên thì nghiệm nhỏ nhất phải là số nguyên tố. Số này thường được ký hiệu là p và khi ấy ta nói trường có đặc số p. Trong ví dụ ở trên, trường F4 có đặc số 2 vì I + I = O.

Nếu F có đặc số p, thì p ⋅ a = 0 với mọi a thuộc F. Nghĩa là

Do tất cả hệ số nhị thức xuất hiện trong khai triển nhị thức đều chia hết cho p. Ở đây, ap := a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a (p nhân tử) là lũy thừa bậc p của a. Do đó, ánh xạ Frobenius:

tương thích với phép cộng trong F (và với phép nhân), do đó nó là một phép tự đồng cấu trường.[10] Sự tồn tại của đồng cấu này khiến trường đặc số p có nhiều điểm khác với trường đặc số 0.

Trường con và trường nguyên tố

Một trường con E của trường F là một tập con của F và là một trường đối với các phép toán của F. Nói cách khác, E là tập con của F chứa 1, và đóng dưới phép cộng, phép nhân, nghịch đảo phép cộng và nghịch đảo phép nhân của một phần tử khác 0. Điều này nghĩa là 1 ∈ E, với mọi a, b ∈ E thì cả a + b và a · b cũng thuộc E, với mọi a ≠ 0 thuộc E, thì –a và 1/a đều thuộc E.

Phép đồng cấu trường là một ánh xạ f: E → F giữa hai trường sao cho

trong đó e1 và e2 là những phần tử bất kỳ của E. Tất cả đồng cấu trường đều là đơn ánh.[11] Nếu F cũng là toàn ánh, nó được gọi là phép đẳng cấu (hoặc trường E và F đẳng cấu).

Một trường được gọi là một trường nguyên tố nếu như nó không có trường con thực sự nào. Bất kỳ trường F nào cũng chứa một trường nguyên tố, trường này là giao của tất cả trường con của F. Nếu đặc số của F là một số nguyên tố p, trường nguyên tố đó đẳng cấu với trường hữu hạn Fp ở dưới. Nếu không thì trường nguyên tố này đẳng cấu với Q.[12]